Operación matemática

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En matemática una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.

Operación interna [

Artículo principal: Operación interna.

Una operación $f_{}^{}$ es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto $A_{}^{}$ .

$f: \; A^I \to A \; , \; A^I =A \times A \times \cdots^I \times A = \prod_{i \in I} A_{i} \; , \;\; I$ es un conjunto.

Que también puede expresarse:

$(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \xrightarrow{f} \; b$

O también:

$f(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \to \; b$

Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar:

Operaciones finitas si el conjunto inicial $I_{}^{}$ es producto cartesiano finito.

Operaciones infinitas en caso contrario.

Operación n-aria [

Artículo principal: Operación n-aria.

Diremos que $f_{}^{}$ es una operación n-aria en el conjunto $A_{}^{}$ , si:

$f: A_{}^{n} \to A$

a $n_{}^{} \in \mathbb{N}$ se le llama la ariedad o anidad.

Operación binaria [

Artículo principal: Operación binaria.

Una operación es binaria cuando $n$ es igual a dos:

$\begin{array}{rrcl} \star : & \; A \times A & \to & A \\ & (a,b) & \to & c = a \star b \end{array}$

y también:

$a \star b \; \to \; c$

$(a, b ) \; \xrightarrow{\star} \; c$

$\star(a, b ) \; \to \; c$

Ejemplo:

En el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$ , la operación de adición: $+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ , $( N , +) \,$ , con las diferentes expresiones:

$a, b, c \in\mathbb{N}, \quad a + b \to c$
$a, b, c \in\mathbb{N}, \quad (a, b ) \; \xrightarrow{+} \; c$
$a, b, c \in\mathbb{N}, \quad +(a, b ) \; \to \; c$

donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Operación unaria [

Artículo principal: Operación unaria.

Una operación unaria, con un solo parámetro:

$\begin{array}{rrcl} \star : & \; A & \to & A \\ & a & \to & b = \star (a) \end{array}$

también suelen denominarse funciones.

Ejemplos:

Dado el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ , la operación unaria incremento o siguiente, como:

$\begin{array}{rrcl} in : & \; N & \to & N \\ & a & \to & b = in(a) \end{array}$

Donde:

$in (n ) = n+1 \; : \; n \in \mathbb{N}$

Dado el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ , la operación opuesto, como:

$\begin{array}{rrcl} op : & \; Z & \to & Z \\ & a & \to & b = op(a) \end{array}$

esto es:

$op (e) = - e \; : \; e \in \mathbb{Z}$

Operación 0-aria [

Artículo principal: Operación nularia.

Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación $f: A^0 \to A$ es decir:

$\begin{array}{rrcl} \star : & \; \emptyset & \to & A \\ & () & \to & b = \star () \end{array}$

Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:

$\begin{array}{rrcl} pi : & \; \emptyset & \to & R \\ & () & \to & a = pi () \end{array}$

Que asigna a a el valor real del número pi.

Una operación que designa un elemento distiguido de $A_{}^{}$ , en teoría de grupos sería el elemento neutro de un grupo.^[1] ^[2]

Operación externa [

Artículo principal: Operación externa.

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:

$\begin{array}{rrcl} \star : & \; B \times A & \to & A \\ & (a,b) & \to & c = a \star b \end{array}$

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo: Dado el conjunto $V_2 \;$ de los vectores en el plano y el conjunto de escalares $\R$ de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:

$\begin{array}{rrcl} \cdot : & R \times V_2 & \to & V_2 \\ & (a,\vec{v}) & \to & \vec{u} = a \cdot \vec{v} \end{array}$

Dado el vector:

$\vec{v} = 3i +6j \;$

Si lo multiplicamos por un escales 3:

$3 \cdot \vec{v} = 3 \cdot (3i +6j) = (9i +18j) = \vec{u}$

podemos ver que los dos vectores son del plano:

$(3i +6j), (9i +18j) \in V_2$

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:

$\begin{array}{rrcl} \star : & A \times A & \to & B \\ & (a,b) & \to & c = a \star b \end{array}$

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es:

$\begin{array}{rrcl} \circ : & V_2 \times V_2 & \to & R \\ & (\vec{u},\vec{v}) & \to & a = \vec{u} \circ \vec{v} \end{array}$

Tomando los vectores del plano:

$\vec{u} = (x_1, y_1)$

$\vec{v} = (x_2, y_2)$

Y siendo su producto escalar:

$\vec{u} \circ \vec{v} = (x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:

$\vec{u} = (3, 6)$

$\vec{v} = (5, 2)$

Operando

$\vec{u} \circ \vec{v} = (3, 6) \circ (5, 2) = 3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 15 + 12 = 27$

Referencias [

↑ J. Barja Perez, pg 7
↑ Donald w. Barnes, pg 2

Bibliografia [

J. Barja Perez.Álgebras Universales en el Cálculo de Proposiciones.Universidad de Santiago de Compostela España. 1978.

Donald W. Barnes, John M. Mack.Una Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. 1978.

Lang, Serge Álgebra lineal (1975), Fondo educativo interamericano S.A. impreso en Puerto Rico, segunda edición.

Véase también [

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